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Paolo Fasce

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Le probabilità nel mondo del gioco del Risiko!

di Paolo Fasce (paolo@fasce.it)

Quando tirate tre dadi a sei facce vi troverete di fronte a 216 risultati possibili (questo numero è infatti il risultato di 6*6*6). Alcuni di questi, dal punto di vista del gioco del Risiko!, sono identici tra loro anche se generati da dadi diversi. Prendiamo i tre dadi e battezziamoli: A, B e C. Quando li lanciamo se otteniamo 665, 656 e 566, dove l'ordine è da mettersi in corrispondenza con i nomi di battesimo dei dadi, un giocatore di Risiko! dirà che il risultato è sempre lo stesso, ma si tratta di tre combinazioni diverse perché una volta è C, una volta è B e la terza volta è A a valere 5. Queste situazioni vanno considerate separatamente, ai fini probabilistici che qui perseguiamo. Anche il vostro avversario, per ciascuna vostra combinazione, ha la possibilità di estrare dal cilindro uno di questi 216 casi e l'esperimento congiunto produce complessivamente 46.656 configurazioni possibili (6 alla sesta potenza, o anche 216*216). Di queste 17871 produrranno il risultato di 3-0 a favore del difensore, 12348 produrranno il risultato di 2-1 per i difensore, 10017 distruggeranno due armate in difesa e una in attacco, mentre solo 6420 producono la vittoria netta dell'attaccante. Questo risultato può essere ottenuto... contando! Ma siccome numeri di questa grandezza sono poco maneggevoli, li ho fatti contare dal calcolatore.

L'algoritmo è piuttosto semplice. Con dei cicli sui sei dadi ho generato tutte le possibili combinazioni dei sei dadi, avendo cura di tenere da un lato i dadi dell'attaccante e dall'altro quello dei difensori. Dopodiché ho ordinato le due terne e le ho confrontate tra loro. A questo punto si è semplicemente trattato di contare quanti di questi risultati hanno fornito il risultato di 3-0 e via di seguito.

Riassumendo, siamo di fronte a questi possibili risultati, nella dura battaglia di 3 armate contro 3 armate, giacché in questa situazione saranno sempre tre le armate a sparire dal tabellone (in caso di parità tra i risultati dei dadi, prevale il difensore):

Armate perdute
dall'attaccante-difensore
Frequenza Casi per mille
3-017.871/46.656~383/1000
2-112.348/46.656~265/1000
1-210.017/46.656~215/1000
0-3 6.420/46.656~138/1000

Questo significa che, ad esempio, se vi trovate nella situazione di sei armate contro tre, dopo il primo tiro di dadi vi ritroverete in una frustrante situazione di 3 contro 3 circa nel 40% dei casi. Da subito in inferiorità numerica, visto che dovete conservare un'armata di presidio sul territorio di partenza. Circa nel 25% dei casi vi ritroverete con 4 armate contro 2 (e "statisticamente", se intendete proseguire sarete 3 contro 1, quindi tirerete 2 dadi e il vostro avversario solo uno, al terzo giro). Nel 20% dei casi avrete ancora 5 armate contro 1 e facilmente entrerete senza perdita alcuna ("probabilmente" solo quella del primo tiro).

In soldoni, giocare secondo le modalità regolamentari correnti, è del tutto equivalente alla seguente modalità: si tira un dadone a 1000 facce, su 383 di esse c'è scritto che l'attaccante perde tre armate, su 265 c'è scritto che l'attaccante ne perde due, su 215 che ne perde una sola e su 138 potrà godere di una vittoria completa.

La conoscenza di questi semplicissimi dati vi permetterà di agire con molta più razionalità nelle vostre partite.

Calcola le percentuali

Data la tabella succitata, è simpatico e/o curioso vedere cosa succederebbe nel caso in cui si utilizzassero dei dadi diversi. Farlo è piuttosto semplice, perché i cicli di cui parlavo prima, possono essere istanziati con numeri diversi dal 6. L'algoritmo, in sintesi, è sempre lo stesso.
La curiosità nasce dall'esigenza di trovare una modalità che permetta un gioco statisticamente più prevedibile, senza però cadere nella tentazione della modalità garibaldina della variante esterofila del gioco. Nel Risk, infatti, l'attaccante dispone di tre armate, ma il difensore si serve solo di due dadi in difesa e questo trasforma sensibilmente la gara giacché il valore atteso è molto vicino ad 1 (ciò significa, in soldoni, che ogni attacco produce una perdita per parte). Immaginiamo di attaccare con dadi a dodici facce, oppure di attaccare con un dado con otto facce, uno da sei e uno da 4 contro tre dadi a sei facce e sbizzarriamoci con i test!

Scegli i valori dei dadi in attacco:

Per cortesia non lanciate questo calcolo numerose volte, specie se fate degli esperimenti con dadi di valore elevato per due motivi: il primo è che dovrete attendere più tempo, il secondo è che per dei semplici trastulli appesantirete il web server che ospita questo sito... Posso anticiparvi che, a seguito di verifiche personali, capita che il calcolo venga interrotto per tempo limite raggiunto.

Scegli i valori dei dadi in difesa:

Ho tirato dei dadi bassi in attacco... sono senza speranza?

Spesso capita di vedere facce disperate di fronte ad un tiro, in attacco, del tipo 2 2 2. A volte, invece, quasi si esulta con un 6 2 1. Voi quale tiro scegliereste? Nel primo caso, è sufficiente che il difensore ci serva almeno un 1, per trasformare un attacco apparentemente brutto, in un logoramento efficace. Nel secondo caso, invece, basta un 6 del difensore per vanificare il tutto. I numeri dimostrano che 6 2 1 è meglio di 2 2 2 (0,58 armate distrutte per turno, contro 0,5), ma basta che quel 6 si trasformi in qualcosa di meno (5-2-1), ed ecco che il 2 2 2 è molto più attraente (0,37 contro 0,5), senza contare il fatto che un 2 2 2 può (remota ipotesi, ma possibile) anche trasformarsi in un 3-0, e il 2-1 non è poi così remoto perchè, a spanne, accade un po' più di una volta su 20, mentre per vincere 2-1 con un 6 2 1 è necessario un doppio 1 accompagnato da qualcosa che non sia un sei. Si tratta di ipotesi abbastanza restrittive, coi numeri diciamo 69 casi su 1000 contro solo 60 di vincere 2-1 con un 2-2-2 rispetto ad un 6-2-1. Qui di seguito è a disposizione dei visitatori uno strumento per calcolare, dato un risultato in attacco, le percentuali finali e il valore atteso di armate distrutto con quell'attacco. Vale per tutti la regola empirica dei profondi conoscitori del gioco del Risiko!: dispérati solo se in attacco tiri degli uno.

Seleziona il valore dei risultati dei dadi in attacco:

Conclusioni

Noterete che già in una partita giocata con dadi a otto facce, pur rimanendo abbastanza inalterato il numero atteso di armate perso per ogni attacco (passa da 1.11 a 1.2) il risultato di 3-0 in difesa diventa molto meno probabile (349 casi su 1000), ma è sorprendentemente utile, al fine di rendere più aderente alle previsioni, è giocare con tre dadi d'attacco diversi (otto, sei e quattro facce) contro i classici tre dadi da sei. Il valore atteso di armate perso per ogni attacco è di fatto identico (1.11 contro 1.14), ma anche in questo caso decrescono i possibili 3-0 in difesa passando da 383 casi su milla a 350 (sostanzialmente lo stesso valore di tre dadi a otto facce contro una difesa identica). Eccitante il risultato di attaccanti 10-6-2 contro 6-6-6. Rinuncereste a molti 3-0 in vostro favore, ma parimenti sarebbero meno anche i cappotti in difesa, a tutto vantaggio dei risultati intermedi. Complessivamente, però, non fareste un buon affare perché passereste ad un numero di armate distrutte per ogni attacco di 1,04, inferiore a quello canonico. 12-8-4 contro 8-8-8 produce un valore atteso di 1,19 (sostanzialmente identico al 1.11 dei tre dadi a sei facce contro gli omologhi), ma in 550 casi su mille è si affrontano le conseguenze di un risultato intermedio. Noterete infine che giocare con dadi identici, agevola sempre il difensore (cosa perfettamente prevedibile), fino al valore atteso di 1,3 dei dadi a 12 facce, ma che non basta al difensore la vittoria in caso di pareggio tra i dadi, se questi gioca con dadi il cui numero di facce è inferiore (1,68, quindi superiore al 50%, il valore atteso di dadi a 12 facce contro dadi da 10, dato che peggiora, al diminuire delle facce del dado giacchè anche se aumentano i possibili pareggi a beneficio del difensore, la percentuale di facce superiori imbattibili - es. 7 e 8 contro 6 - aumenta).

Personalmente ritengo che "anche l'occhio voglia la sua parte" e tra tutti i solidi platonici, credo che il solo dodecaedro possa competere con il cubo in quanto a fascino. Quello è il numero di facce che adotterei per il dado del Risiko!, ma mi accontenterei di meno...