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Il diagramma della finale del Campionato del Mondo 2006 risolto passo passo

Nel mio libro A scuola di Sudoku, per la prima volta in Italia (e forse nel mondo) ho predisposto diversi diagrammi risolti passo passo, al fine di concretare i consigli e le tecniche risolutive che ho descritto nel libro. A diversi mesi di distanza dalla pubblicazione di quel testo, mi è sembrato interessante proporre la soluzione passo passo di quella che è stata la fase di finale a tre del 1o Campionato del Mondo disputato nel marzo 2006 a Lucca. Ho predisposto questa soluzione al fine di presentarla nell'ambito delle lezioni che ho tenuto, assieme a Pierdante Lanzavecchia, presso la manifestazine Matefitness la palestra della matematica. Il ciclo di seminari è stato di cinque appuntamenti che si sono svolti nei mesi di giugno e luglio 2006.
A Lucca, nella mia veste di Direttore del Torneo, ho goduto di una visuale privilegiata nell'ambito della soluzione di questo diagramma da parte dei finalisti, ma è giusto anche evidenziare il fatto che la rivista Focus ha già pubblicato un'altra soluzione di questo stesso diagramma, proposta da Giulia Franceschini, la campionessa italiana che si è anche dimostrata la migliore dei nostri connazionali al Campionato del Mondo, piazzandosi al 19mo posto. Sono grato a Giulia e a Focus del fatto che la notazione adottata per l'occasione è proprio quella proposta nel mio libro. Le motivazioni che ho espresso nell'elaborarla, a mio modesto parere, continuano ad essere convincenti e per questo motivo spero che anche altri vogliano aderirvi.
Il percorso che propongo non è totalmente diverso da quello di Giulia, ma il mio punto di vista, in questa sede, è quello della didattica orientata a concretare al meglio i consigli che fornisco nel libro. Per questo motivo ho scelto strade diverse, non per questo, più convincenti. Uno degli aspetti interessanti di questo gioco è che anche quando esiste una sola soluzione, le strade per arrivarci sono diverse e ognuno è libero di scegliere quella che ritiene più compatibile con le proprie fluidità e tecniche mentali.
Buon divertimento!

Il primo numero da inserire è elegantemente servito al centro del diagramma. Nonostante gli indizi presenti nel diagramma all'inizio della procedura di soluzione siano solo 24, noto che sono concentrati nei settori II, IV, VI e VIII ed in particolare la colonna E e la quinta riga manifestano otto indizi tutti differenti: 2, 4, 5, 6 sono nella colonna E, mentre 1, 3, 7 e 9 sono nella quinta riga. L'unica cifra mancante è proprio il numero 8 che andremo a collorare in E5. Detto in termini molto prolissi potremmo scrivere: In E5 non può starci il numero 1 perché lo vieta 1.i5, non può starci 2 perché lo vieta 2.e8, non può starci 3 perché lo vieta 3.h5, non può starci 4 perché lo vieta 4.e2, non può starci 5 perché lo vieta 5.e1, non può starci 6 perché lo vieta 6.e9, non può starci 7 perché lo vieta 7.a5, non può starci 9 perché lo vieta 9.b5, ma siccome qualcosa ci deve pur stare ed è tutto vietato, tranne l'8, questo è il numero che sopravvive a questa eliminazione successiva. La procedura è chiamata intersecare perché se intersechiamo gli insiemi dei numeri ancora possibili che afferiscono alla riga, alla colonna e al settore di nostro interesse (E5 in questo caso), questa tecnica fornisce un numero certo qualora il risultato dell'intersezione di questi tre insiemi fosse un solo elemento.
Nella notazione compatta che presto utilizzeremo qui di seguito, scriveremo:

8.e5, intersecare.

L'immagine qui a fianco è quella di un software in versione beta di Roberto Compare. Lo sfondo azzurro della cella E5 è una mia elaborazione grafica orientata alla didattica di questa pagina web.
Nell'immagine qui a fianco le celle con lo sfondo colorato sono da considerarsi cancellati rispetto ai possibili inserimenti del numero 7. Noterete che ogni cella libera a sfondo colorato ha il numero 7 che appare nella stessa riga, oppure nella stessa colonna o nello stesso settore. E' utile fare una rapida verifica per comprendere appieno la potenza di questa tecnica. Si noterà nel VIII settore che la cella F8 è l'unica sopravvissuta alle cancellazioni e dovendo collocare almeno un 7 in ogni settore, quella è l'unica cella nella quale può essere collocato. Dedurremo quindi per la mossa che sinteticamente indicheremo in questo modo:

7.f8, cancellare.

L'immagine qui a fianco è ricavata dal foglio di lavoro ricavato tramite il software MS Excel che ho messo a disposizione in queste pagine e che è in grado di fornire agevolmente un supporto grafico rispetto alla tecnica di base che è appropriato chiamare semplicemente cancellare.
L'inserimento di un numero nella griglia, spesso è elemento fertile al fine di un nuovo inserimento di quello stesso numero in altra parte dello schema. E' il caso di 7.F8 che cancella una delle due possibilità del V settore (si veda l'immagine precedente) e consegna l'unicità di E4 in quella regione. Si noti, tuttavia, come 7.e4 è una soluzione che poteva anche essere individuata addirittura in precedenza in quanto anche nella figura precedente è possibile notare che E4 è l'unica cella che può accogliere il numero 7 nella colonna E. Esattamente come per i settori, anche nelle righe e nelle colonne è indispensabile che venga collocata un'istanza di ogni numero dall'1 al 9 e quando c'é una sola possibilità questo ci consente di concludere immediatamente. E' del tutto evidente, tuttavia, che per l'occhio umano è più facile individuare una cella univoca in un settore, piuttosto che in una riga o in una colonna. Questo limite umano deve essere tenuto in considerazione nella risoluzione di un diagramma in quanto occorrerà concentrarsi su questa possibilità, quando altre non sono fruttuose. Qui di seguito la notazione sintetica della mossa che andiamo ad effettuare.

7.e4, cancellare.

Al mero fine di mostrare quanto sia vero quanto affermato nel commento precedente, evidenziamo come la cancellazione del numero 8 produca una conclusione non del tutto evidente nella colonna A. 8.b8 cancella le celle del VII settore e tra queste due della colonna A; 8.I4 e 8.F2 cancellano A4 e A2 rispettivamente. L'unica cella sopravvissuta nella colonna A alle cancellazioni è quindi 8 e scriveremo:

8.a1, cancellare.

Questo inserimento, già possibile prima della mossa precedente, è invece più facile da individuare in quanto la cella C6 in questo caso sopravvive alla cancellazione di tutte le altre celle del settore IV. Si noti comunque che per individuare questa cella occorre fare lavorare ben tre istanze diverse del numero 8 presenti nella griglia: 8.B8, 8.E5 e 8.I4.

8.c6, cancellare.

La configurazione che ora evidenziamo era disponibile sin dall'inserimento di 7.F8. E' una conformazione piuttosto particolare che occorre sfruttare quando si presenti. Delle quattro celle libere nello VIII settore, ben tre sono allineate e quindi cancellate in blocco dai numeri presenti in quella riga. Nel nostro caso 5.A7 è posizionato in maniera propizia e questo ci consente di concludere per:

5.d9, cancellare.

E' utile fare un passo indietro. Quando abbiamo inserito 7.F8 alla seconda mossa (ma poteva essere anche la prima!) abbiamo fatto fruttare quel 7 cancellando altrove. Ciò è stato fatto a fine didattico al fine di mostrare come l'inserimento di un'istanza di un numero consente spesso di proseguire con altri inserimenti di quello stesso numero. Un buon giocatore, tuttavia, all'inizio della soluzione (si ritorni per un istante al diagramma iniziale) avrebbe probabilmente notato che 5.a7 e 7.i7 cancellano le tre celle della settima riga nello VIII settore e si sarebbe quindi affannato a cercare di posizionarle nelle due celle sopravvissute. Dato che 7.d1 inibiva sin dall'inizio l'inserimento in D9, la conclusione sarebbe stata immediata: 7.F8 e quindi 5.D9.
Quanto affermato nel commento precedente ci consente di seminare un indizio che vedete scritto in rosso, con un carattere più piccolo, al centro delle celle D2 e F1. 1 e 6 non sono ancora presenti nel II settore e sono cancellati da 1.A3 e 6.3 in tutta la terza riga. Nel II settore, quindi, andranno nelle uniche celle sopravvissute, ma non ci sono elementi, al momento, per sfruttare quest'informazione e collocare entrambi i numeri. Appena qualche altra immissione genererà un indizio sufficiente per definire uno dei due, automaticamente avremo anche definito l'altro.
Nello schema a fianco, molto semplicemente avanziamo con l'inserimento del numero 8 grazie alla tecnica del cancellare. 8.f2 e 8.e5 sono sufficienti a restringere il campo nello VIII settore alla sola cella D7 e quindi:

8.d7, cancellare.

Quando in un settore, in una riga o in una colonna sopravvivono solo due celle libere (invero è utile fare delle analisi anche quando ne mancano tre, a volte anche di più!) si prospetta una situazione interessante che spesso consente uno sfruttamento immediato. E' il caso dello VIII settore dove mancano solo le istanze del numero 1 e 4, come evidenziato in figura con l'esplicitazione dei candidati che ho scritto al centro della cella come per il II settore. In quest caso, tuttavia, 4.e2 inibisce la presenza del 4 in E7 e quindi per il criterio del cancellare dobbiamo concludere per:

4.f7, cancellare.

Quest'inserimento lascia una sola cella libera nel settore e in questo caso è identico affidarsi al criterio del cancellare e dell'intersecare che danno entrambi la stessa risposta:

1.E7, cancellare o intersecare.

Si noti che, in questo caso, non siamo fortunati. Se queste due celle si fossero completate in maniera differente (4.e7 e 1.f7), l'immissione dello 1 ci avrebbe consentito di escluderlo in f1 e, conseguentemente, avremmo potuto anche determinare 6.f1 e 1.d3. Pazienza...
Servono ben tre istanze del numero 4, ciascuna collocata in una riga diversa, per cancellare nella colonna A tre delle quattro celle che possono accogliere quel numero. La sopravvissuta è l'unica nella colonna A che può contenere il 4 e questo si traduce nella mossa:

4.a9, cancellare.

Nella colonna A mancano solo tre numeri: 3, 6 e 9. Questa fase è quindi propizia per cominciare a sperare nell'efficacia del metodo dell'intersecare. E' per questo motivo che esplicito i candidati, ma è il criterio del cancellare che produce l'inserimento in A4 che ci permette di concludere:

3.a4, cancellare.

Invero l'esplicitazione dei candidati ci permette di evidenziare una configurazione che ci permette più agevolmente di concludere: posto che nelle celle A2 e A8 è possibile collocare solo e unicamente i numeri 6 e 9 (in quanto in entrambe le righe è presente un'istanza del numero 3 che elimina quel numero nella terna 369 dei numeri possibili in quella colonna. Il 6 e il 9, pur non sapendo dove siano esattamente, staranno alternativamente in A2 e in A8 (che vengono dette pertanto "celle gemelle"). Dovendo essere in quelle celle, non potranno essere in A4 e procedendo alla riduzione dei candidati nella cella A4 sopravvive solo il 3.
Nella colonna i abbiamo una sola possibilità per l'inserimento di un'istanza del numero 2. Individuare questa cancellazione a occhio è difficile, ma non impossibile, visto considerato il fatto che 2.h2 cancella due celle della colonna i nel III settore. 2.a6 e 2.e8 eliminano le altre possibilità nella colonna i e quindi concludiamo con:

2.i9, cancellare

La tecnica delle celle gemelle ci consente di completare, tranne che per le gemelle medesime, la colonna i. Nella figura a fianco sono evidenziati i candidati nelle celle dell'ultima colonna e a questo punto apprendiamo che i2 e i8 sono celle gemelle. Questo ci consente di cancellare 59 quali candidati delle altre celle nella stessa colonna e questo permette di fare emergere immediatamente:

4.i6, intersecare con celle gemelle.

L'inserimento del 4 nella colonna i consente di ridurre i candidati anche nella cella I1 dove, cancellato il 9 per le celle gemelle e il 4 per l'inserimento in i6, non resta che il numero 3 e quindi:

3.i1, intersecare con celle gemelle.

I recenti inserimenti devono essere verificati al fine di reperire eventuali numeri identici a quelli appena collocati per farne emergere altri con la tecnica del cancellare. E' ciò che avviene con il numero 4 che emerge nel V settore, come mostra la figura a fianco.

4.d5, cancellare.

Siamo giunti al momento topico della soluzione di questo diagramma. A questo punto della situazione le modalità elementari di cancellare (nella letteratura inglese viene chiamata anche slicing & dicing, ma la situazione è variegata perché la tecnica viene spesso scomposta in sottocasi ai quali vengono attribuiti i nomi più vari, a seconda degli autori) e di intersecare (sia pure con l'ausilio di ulteriori riduzioni dei candidati dovute a tecniche semplici) non sono sufficienti a progredire.
Nella figura a fianco ho cominciato a seminare gli indizi per il finale. Le letterine che vedete in basso a destra sono delle alternative del tipo o qui, o lì. Le ho espresse con delle lettere, invece che con dei numeri, perché anche se sono posizionate in una regione diversa da quella centrale (in basso a sinistra) e uso anche un colore diverso (il verde invece che il rosso), nel gioco carta e matita spesso questi accorgimenti non sono disponibili. La confidenza nell'associare 1 alla lettera a, 2 alla lettera b, 3 alla lettera c, etc. al fine di adottare questa tecnica, viene con la pratica. Gli indizi di tipo o qui, o lì saranno utili più avanti. In breve, quando andremo a posizionare un'istanza di un qualsiasi numero in una cella marcata con questi segnali, automaticamente sapremo, senza doverci affidare alla memoria, che si cancella un'alternativa nello stesso settore o riga o colonna, determinando la necessità immediata di creare una nuova istanza di quello stesso numero altrove. Ad esempio quando scioglieremo la riserva tra 4.c1 e 4.c3, automaticamente dovremo anche completare con 4.g3 o 4.g1 rispettivamente. Nel primo caso, infine, dovremo anche mettere 8.h3 e, per conseguenza, 8.g9. Ma anche in questo caso dovremo proseguire con 3.g7 per concludere con 3.c9. Tutto questo a volte ci aiuta anche ad individuare una scommessa fertile, consentendoci di rilevare delle contraddizioni tra una strada e l'altra. Ma non è questo il caso.
Desidero mettere in luce una differenza che sfrutteremo presto tra le configurazioni "a rettangolo" che abbiamo qui evidenziato, e marcato con le lettere dell'alfabeto, e quelle che ci troviamo sul tappeto con la tecnica dell'emersione dei numeri candidati conseguenza della tecnica dell'intersecare. Nel primo caso è la tecnica del cancellare a determinare quelle configurazioni ed è implicita la cancellatura di quei numeri dalla riga e dalla colonna nei quali appaiono, nel secondo caso no, come spiegheremo nella chiosa della prossima immagine.
Appoggiandomi al software di Roberto Compare che consente di visualizzare agevolmente i candidati che emergono con la tecnica dell'intersecare, possiamo agevolmente vedere che non c'è alcuna cella nella quale ne compare uno soltanto. Con un po' di pazienza si può anche verificare che non ci sono istanze singole di un certo numero in alcuna riga, colonna o settore e pertanto anche la tecnica del cancellare è ora inefficace. Dobbiamo quindi procedere alla riduzione dei candidati con qualche altro accorgimento.
La tecnica che utilizziamo ora è nota in letteratura con il termine di X-wings. Notiamo la particolare configurazione che emerge nella prima e ultima colonna. In entrambi i casi abbiamo solo due celle sopravvissute ed in entrambi i casi figura il numero 9. Questo ci consente di dire che: se il 9 andrà in A2, allora dovrà anche andare in i8, mentre se andrà in a8, dovremo posizionarlo anche in i2. La conseguenza delle immissioni del numero 6 nella prima colonna e del numero 5 nell'ultima, al momento non ci interessa, ciò che importa è che il numero 9 non potrà apparire in nessun'altra cella della riga 2, nè della riga 8. dovremo quindi rimuovere il numero 9 tra i candidati di quelle righe.
Nella figura a fianco ho provveduto ad eliminare diversi candidati per altrettanto diverse ragioni. Le croci nere che eliminano i 9 nella seconda e ottava riga sono la conseguenza di quanto enunciato nel commento precedente e sono dovute alla tecnica avanzata detta X-wings. Nella colonna b ho rilevato due celle gemelle (26 in b1 e b7) e le croci rosse cancellano in quel vettore proprio quei candidati. Infine le croci verdi nella terza riga sono dovute al fatto che i numeri 239 devono necessariamente apparire nel la terza riga, ma limitarsi al II settore dove non possono stare altrove, essendo inibite le posizioni già occupate dai numeri presenti, ma anche da due celle gemelle.
A questo punto occorre una nuova riduzione dei candidati che individuo con la prima scommessa della partita. Noto infatti che posizionando 6.c8, questo impone 5.c5 e, tolti 5 e 6 da c4 non resta che 1.d4. Tolto lo 1 e il 5 dal settore IV, non restano candidati validi per b6. Allora sarà:

1.c8, scommettere. (6.c8 è rapidamente contraddittoria)

Questo rende c4 e c5 gemelle (56) e cancella il candidato 5.b6. Non resta quindi che:

1.c6, intersecare.

Possiamo tuttavia vederla anche in un altro modo ed evitare di scommettere. Consideriamo il IV settore. Possiamo avere 6.c4 oppure 6.c5, ma il 6 non puoò andare altrove. Questo vieta a quel numero di apparire altrove nella stessa colonna, quindi dobbiamo escludere questo candidato da c8 e concludere con:

1.c8, intersecare.

Questo rende gemelle c5 e c4 (56) contribuendo ad escludere quei numeri nel IV settore, in particolare il 5 da b6, quindi:

1.b6, intersecare con celle gemelle.

Ed ecco che solo per logica, sblocchiamo la situazione. Da qui in poi è discesa.

La strada, da qui in poi, è in discesa. b3 e b9 sono immediatamente disponibili, a questo punto, per due immissioni, per diversi motivi. In figura si mostra lo schema allorquando si cancelli il numero 5 dal diagramma, risulta che b3 sia l'unica cella disponibile ad accogliere un'istanza di quel numero nella colonna b:

5.b3, cancellare.

Contemporaneamente a questo, b9 ha un unico candidato che ci consente di concludere con:

7.b9, intersecare.

Giunti a questo punto, raccoglieremo il frutto di un seme piantato diverso tempo fa. Osserviamo infatti che emerge in c9 un unico candidato e quindi scriveremo:

3.c9, intersecare.

Questa immissione avviene in una cella dove appare la lettera c in basso a destra. Questo immediatamente segnala che un altro 3 deve essere posizionato da qualche parte tramite la tecnica del cancellare. Peccato, si tratta di:

3.g6, cancellare.

che non ci permette di andare oltre, come illustrato in precedenza.
Personalmente non trovo affatto agevole, in questa configurazione, individuare la cella h4 come candidata per una emersione dovuta alla cancellatura del numero 5. Ma 5.e1 cancella nella colonna h la prima riga, 5.b3 la terza, 5.a7 la settima e 5.d9 la nona. Sono ben quattro le istanze del numero 5 che concorrono alla deduzione logica:

5.h4, cancellare

Anche in questo caso questa ultima immissione ci consente nuovi e rapidi inserimenti che derivano dagli indizi lasciati per strada. Siamo infatti in grado di sciogliere le celle gemelle della colonna c:

5.c5, intersecare (sciogliamo una cella gemella)

6.c4, intersecare (completamento delle celle gemelle)

Abbiamo così completato il IV quadrato. C'è sempre un certo grado di soddisfazione quando si "chiude" una regione!
Nella sequenza di immissioni che abbiamo appena fatto, figurano ben due istanze del numero 5. Non resta che verificare se questo numero non sia collocabile anche altrove grazie alla tecnica del cancellare e tosto scopriamo la seguente:

5.f6, cancellare

Questa immissione scatena una magnifica sequenza nel II settore:

3.f3, cancellare (difficile da vedere: è sulla colonna)

9.e3, intersecare (e scioglimento di una cella gemella).

2.d3, intersecare o cancellare (completamento del II settore).

Ma anche nella colonna e:

3.e6, intersecare o cancellare (completamento della colonna e, ma anche conseguenza dello scioglimento della cella gemella).

En passant, con quest'ultimo inserimento abbiamo esaurito le istanze del numero 3 che è quindi il primo numero che esauriamo in questa soluzione.
Il completamento della terza riga del II settore rende ora più evidente qualcosa che potevamo comunque dedurre anche prima di sciogliere questo nodo. Anche non sapendo se la sequenza giusta fosse 293 o un'altra, le istanze di quei numeri contribuivano già prima della mossa precedente ad identificare:

8.h3, intersecare

Questa immissione avviene in una cella dove avevamo collocato un indizio verde in basso a destra (h) e quindi ci affrettiamo a cancellare il numero 8 per approdare immediatamente a:

8.g9, cancellare

Anche tutte le istanze del numero 8 sono state infine trovate.
Tutte le volte che in una riga, colonna o settore, manca un solo numero, ci affrettiamo a completare quella riga, colonna o settore e conseguentemente questo avviene con la nona riga per la quale scriviamo:

1.h9, cancellare o intersecare.

Invero, anche se non l'avevamo evidenziato, g9 e h9 erano da tempo "celle gemelle".
Quest'ultima immissione rende gemelle le celle h1 e h9: 69 sono i candidati, ma 6.i3 inibisce altre istanze di quel numero nel III settore, ivi inclusa la cella h1 e pertanto:

9.h1, intersecare (scioglimento di cella gemella)

E per conseguenza immediata:

6.h7, intersecare o cancellare (scioglimento di cella gemella e completamento della colonna h)

9.h1 di cui al punto precedente ci consente di sciogliere lo X-wings che abbiamo utilizzato per sbloccare il diagramma dopo le immissioni dovute alle tecniche di base che hanno consentito di avviare la compilazione del diagramma. 9.h1 scioglie l'ambiguità della cella gemella i2 per la quale ora possiamo scrivere:

5.i2, intersecare (scioglimento di cella gemella).

Ma rapidamente proseguiamo con:

9.i8, intersecare (completamento della cella gemella, ma anche della colonna i).

6.a8, cancellare (scioglimento della cella gemella).

9.a2, cancellare o intersecare (completamento della cella gemella, ma anche della colonna a).

La tecnica dell'intersecare a questo punto diventa potentissima. Contemporaneamente sono possibili le seguenti:

7.c2, 2.b7, 3.e6, 5.g8.

Queste immissioni consentono altre facili compilazioni dovute alla tecnica dell'intersecare che fornisce candidati unici nei seguenti casi:

6.b1, 4.c3, 9.c7, 1.g2.

La strada è spianata. Sempre intersecando abbiamo agevolmente una nuova serie di inserimenti che talvolta sono segnalati dagli indizi, siano essi quelli centrali numerici dovuti alle celle gemelle, sia quelli alternativi letterali sparsi sin dall'inizio del gioco.

2.c1, 6.d2, 1.f1, 4.g1, 7.g3.

Siamo ad un passo dalla fine. Le due seguenti si ottengono facilmente con la tecnica del cancellare:

5.d4, cancellare. (settore V, ma anche colonna d e, addirittura, quarta riga; ma è normale quando ci sono così pochi numeri da collocare!)

6.f5, cancellare. (colonna f)

Questa terna di immissioni è agevole per il fatto che si tratta semplicemente di completare la colonna d ed f e la quinta riga:

6.f5 completare la colonna f.

9.d6 completare la colonna d.

2.g5 completare la riga quinta.

Anche le ultime due celle si compilano semplicemente completando le rispettive righe:

9.g4 completare la quarta riga.

6.g6 completare la sesta riga.

Un commento alla soluzione di questo diagramma. Si tratta di un diagramma senz'altro molto difficile innanzi tutto perché molte volte mi sono appoggiato alla tecnica del cancellare che è stata efficace su una riga o su una colonna. L'individuazione di un inserimento in questo modo, a colpo d'occhio, quindi con carta e matita, non è per niente facile. Ma oltre a questo la riduzione dei candidati e quindi la tecnica dell'intersecare, è stata utilizzata facendo sfoggio di diverse sottigliezze, ivi inclusa la cancellazione di candidati tramite la tecnica dello X-wings. Alcuni software ai quali ho dato in pasto questo diagramma hanno lo hanno risolto solo logicamente con altre tecniche avanzate, io mi sono appoggiato ad una scommessa che mi è parsa comunque abbastanza facile da individuare in quel contesto. Per questo motivo mi permetto di inserire questo diagramma, senza timore di smentita, nell'ambito di quelli definiti diabolici.
Infine una raccomandazione, quasi una patetica preghiera: se avete apprezzato questa pagina, comprate il mio libro!